Finiteness conjectures for finite-dimensional functors in positive characteristic

Soit $K$ un corps de caractéristique $p>0$, soit $A$ un anneau, et soit $\mathcal{F}^{df}(A,K)$ la catégorie des foncteurs de la catégorie considérée à valeurs dans des espaces vectoriels de dimension finie sur $K$. Conjectures de finitude en caractéristique positive.

1. La catégorie $\mathcal{F}^{df}(A,K)$ est localement noethérienne.
2. Si $A$ ne possède aucun idéal à droite $I$ tel que $A/I$ soit un $p$-groupe fini non nul, alors la catégorie $\mathcal{F}^{df}(A,K)$ est localement finie.

Ces assertions complètent le résultat de localité finie en caractéristique nulle. En caractéristique positive, l'absence de scindement par le degré des foncteurs polyHomiaux rend la situation plus délicate, et les catégories de foncteurs à valeurs de dimensions finies ne sont généralement pas localement finies. Les deux assertions restent conjecturales dans le texte fourni.