Polynomial dimension-function conjecture for simple functors on finite p-rings

Soit $A$ un $p$-anneau fini, c'est-à-dire un anneau fini dont la caractéristique est une puissance de $p$, et soit $K$ un corps tel que $\mathrm{car}(K)\neq p$. Pour un foncteur $F$ de $\mathcal{F}(A,K)$, notons $\mathrm{d}_F(n)=\dim_K F(A^n)$. Conjecture sur la fonction de dimensions. Pour tout foncteur simple $F$ de $\mathcal{F}(A,K)$, il existe une fonction polynomiale $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ telle que

$$\forall n\in\mathbb{N}\quad \mathrm{d}_F(n)=f(p^n).$$

Cette conjecture propose une description uniforme de la croissance des fonctions de dimensions des foncteurs simples antipolynomiaux, dans un contexte où leur classification est liée à celle des représentations simples de groupes comme $GL_n(\mathbb{Z}/p^r\mathbb{Z})$ et semble hors d'atteinte. Elle est démontrée lorsque $A$ est semi-simple, mais reste ouverte en général.