The central formal-series conjecture for shifted symmetric polynomials

Soient $X_{0}$, $u$ et $X=(X_1,X_2,X_3,\ldots)$ des indéterminées indépendantes. Pour tous entiers $j,k\geq 0$, définissons

$$P_{jk}(X)=\sum_{|\mu|=j}\frac{\left\langle{\mu\atop k}\right\rangle}{z_{\mu}}\prod_{i\geq1}X_i^{m_i(\mu)},$$

où $\mu$ parcourt les partitions, $|\mu|$ est sa taille, $l(\mu)$ sa longueur, $m_i(\mu)$ la multiplicité de la partie $i$, et $z_\mu$ est le facteur usuel. Pour un entier $n\geq1$, la conjecture porte sur l'identité de séries formelles en $u$ et dans les indéterminées $X_0,X_1,X_2,\ldots$.

Conjecture centrale. Pour tout entier $n\geq1$,

$$\sum_{|\mu|=n}\frac{(-1)^{n-l(\mu)}}{z_\mu}\prod_{i\geq1}\left(X_0+\sum_{p\geq1}u^p\frac{(i)_p}{p!}X_p\right)^{m_i(\mu)} =\sum_{j\geq0}u^j\left(\sum_{k=0}^{\min(n,j)}\binom{X_0-j}{n-k}P_{jk}(X)\right).$$

Cette identité explicite une série formelle liée aux polynômes symétriques décalés et aux polynômes de Jack décalés. Elle généralise des identités classiques et, dans le texte source, constitue la conjecture centrale parmi plusieurs conjectures combinatoires; son statut de résolution n'est pas indiqué.