Preperiodicity conjecture for components of the p-adic Fatou set

Soit $R$ une fonction rationnelle de degré au moins deux sur $\mathbb{P}(\mathbb{C}_p)$, et soit $F(R)$ son ensemble de Fatou. Une composante de $F(R)$ est dite pré-périodique si son orbite sous l'application induite par $R$ devient périodique après un nombre fini d'itérations.

Conjecture de pré-périodicité des composantes. Toutes les composantes de l'ensemble de Fatou sont pré-périodiques.

Cette conjecture est présentée comme une reformulation de l'assertion selon laquelle l'ensemble de Fatou est la réunion disjointe des bassins d'attraction et des préimages du domaine de quasi-périodicité. La classification des composantes périodiques donnée juste avant montre que les composantes périodiques sont soit des bassins d'attraction immédiats, soit des composantes analytiques du domaine de quasi-périodicité; le statut de la pré-périodicité de toutes les composantes n'est pas résolu dans le texte.