Fontaine–Perrin-Riou's local epsilon-conjecture for crystalline representations

Soit $F$ une extension finie de $\mathbf{Q}_p$, $V$ une représentation cristalline de $G_F$, et $T$ un réseau de $V$. Les espaces $\mathbf{D}_{\mathrm{cris}}(V)$, $\mathbf{D}_{\mathrm{dR}}(V)$ et $t(V)=\mathbf{D}_{\mathrm{dR}}(V)/\operatorname{Fil}^0\mathbf{D}_{\mathrm{dR}}(V)$, ainsi que le module de déterminant $\Delta_F(V)$ et le réseau $\Delta_{EP,F,\mathbf{Z}_p}(V)$, sont définis par les suites exactes de comparaison et de cohomologie rappelées dans le texte. Pour $j\in\mathbf{Z}$, posons $h_j(V)=\dim_F(\operatorname{Fil}^j\mathbf{D}_{\mathrm{dR}}(V)/\operatorname{Fil}^{j+1}\mathbf{D}_{\mathrm{dR}}(V))$, et définissons

$$\Gamma^*(j)=\begin{cases}(j-1)!&\text{si }j\geq 1,\\\\(-1)^j/(-j)!&\text{si }j\leq 0.\end{cases}$$

Pour $\omega\in\Delta_F(V)$, soit $\eta_V(\omega)$ la valeur absolue $p$-adique du coefficient obtenu par l'isomorphisme de comparaison.

La conjecture $C_{EP,F}(V)$. Pour tout $\omega\in\Delta_F(V)$, on a

$$\Delta_{EP,F,\mathbf{Z}_p}(V)=\mathbf{Z}_p\cdot\det\left(-\varphi\mid\mathbf{D}_{\mathrm{cris}}(V^*(1))\right)\prod_{j\in\mathbf{Z}}\Gamma^*(-j)^{-h_j(V)[F:\mathbf{Q}_p]}\eta_V(\omega)\omega.$$

Cette conjecture donne une formule explicite pour le réseau de déterminant associé à la cohomologie galoisienne locale et constitue une formulation locale de la conjecture de Fontaine et Perrin-Riou. Le statut de résolution n'est pas indiqué dans le texte fourni.