The K(π,1) conjecture for mixed Tate motives

Pour un corps $F$, soit $\mathrm{DM}(F)$ la catégorie triangulée des motifs à coefficients dans $\mathbb{Q}$, et soit $\mathrm{MT}(F)$ sa catégorie des motifs de Tate mixtes. Pour tous entiers $n,i$, considérons le morphisme naturel vers les morphismes dans $\mathrm{DM}(F)$, identifiés à $\mathrm{gr}^n_\gamma K_{2n-i}(F)_\mathbb{Q}$. Conjecture du $K(\pi,1)$. Le morphisme

$$\mathrm{Ext}^i_{\mathrm{MT}(F)}(\mathbb{Q}(-n),\mathbb{Q}(0))\longrightarrow \mathrm{Hom}_{\mathrm{DM}(F)}(\mathbb{Q}(-n),\mathbb{Q}(0)[i])\simeq \mathrm{gr}^n_\gamma K_{2n-i}(F)_\mathbb{Q}$$

est un isomorphisme. Cette conjecture demande que les extensions dans la catégorie des motifs de Tate mixtes calculent exactement les groupes motiviques correspondants; elle demeure ouverte dans le cadre général décrit par le texte.