Zagier's conjecture for Dedekind zeta values

Soient $F$ un corps de nombres et $n\geq 2$. Notons $d_n=r_1+r_2$ si $n$ est impair et $d_n=r_2$ si $n$ est pair, et soit $\mathrm{P}_n^F:\mathbb{Q}[F^\times]\rightarrow\mathbb{R}^{d_n}$ le régulateur polylogarithmique défini par les plongements de $F$. Conjecture de Zagier. Il existe des éléments $\xi_1,\ldots,\xi_{d_n}\in\mathbb{Q}[F^\times]$ tels que

$$\zeta_F(n)\sim_{\mathbb{Q}^\times}\frac{\pi^{n([F:\mathbb{Q}]-d_n)}}{\sqrt{|D_F|}}\det\left(\mathrm{P}_n^F(\xi_j)\right)_{1\leq j\leq d_n}.$$

Cette conjecture relie les valeurs spéciales de la fonction zêta de Dedekind aux régulateurs construits à partir de polylogarithmes; elle est connue pour $n=2,3,4$ dans les cas mentionnés dans le texte, tandis que le cas général reste ouvert.