Vogan–Haines compatibility conjecture for parabolic induction

Soit $P$ un sous-groupe parabolique de $G$ de facteur de Levi $M$. Soient $csigma$ une représentation irréductible supercuspidale de $M$ et $cpi$ un sous-quotient irréductible de $i_P^G(csigma)$. Notons $cphi_{csigma}:W_F'\to\widehat{M}$ et $cphi_{cpi}:W_F'\to\widehat{G}$ leurs paramètres de Langlands. Après plongement naturel $cwidehat{M}\hookrightarrowcwidehat{G}$, on considère $cphi_{csigma}$ comme un paramètre de $G$.

Vogan–Haines compatibility conjecture. La correspondance de Langlands devrait vérifier

$$(clambda_{cphi_{cpi}})_{cwidehat{G}}=(clambda_{cphi_{csigma}})_{cwidehat{G}}.$$

Cette conjecture demande que l’induction parabolique préserve le caractère infinitésimal prévu par la correspondance de Langlands. Elle est attribuée dans le texte à Vogan et Haines; aucune résolution n’est indiquée.