Markus conjecture on completeness of compact affine manifolds

Soit $M$ une variété compacte munie d'une structure affine, c'est-à-dire d'une structure modelée sur $(\operatorname{Aff}(\mathbb{R}^n),\mathbb{R}^n)$. Une forme volume parallèle est une forme volume préservée par la connexion plate et sans torsion induite par cette structure affine. Conjecture de Markus. Si $M$ possède une forme volume parallèle, alors $M$ est complète. Autrement dit, toute $(\operatorname{SL}(n,\mathbb{R})\ltimes\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n)$-variété compacte est complète. Cette conjecture caractérise un cas important du problème de la complétude des structures affines compactes et affirme que la préservation d'un volume parallèle exclut les exemples compacts non complets. Elle est attribuée à Markus et demeure ouverte dans cette généralité.