Vanishing conjecture for the K-theoretic obstruction of geometrically ruled surfaces

Soit $K$ un corps global et soit $V$ une surface projective, lisse et géométriquement réglée sur $K$. Avec $\cyr{X}\mathcal N(V)$ défini comme le noyau de la restriction de $\mathcal N(V)$ vers les complétés locaux, Conjecture d'annulation pour les surfaces géométriquement réglées. Le groupe $\cyr{X}\mathcal N(V)$ est nul. Il s'agit d'un cas particulier plus fort de la conjecture de finitude et le statut général de cet énoncé est ouvert.