Finiteness conjecture for the Tate–Shafarevich group of the K-theoretic obstruction

Soit $K$ un corps global, soit $V$ une variété projective, lisse et géométriquement connexe sur $K$, et soit $\mathcal N(V)$ le noyau défini à partir de la cohomologie galoisienne de $K_2$ et des symboles modérés. Notons

$$\cyr{X}\mathcal N(V)=\operatorname{Ker}\bigl(\mathcal N(V)\longrightarrow\prod_v\mathcal N(V_v)\bigr).$$

Conjecture de finitude de l'obstruction $K$-théorique. Le groupe $\cyr{X}\mathcal N(V)$ est fini. Cette conjecture est un principe local-global en $K$-théorie algébrique; son statut général est ouvert.