Conjecture on crystalline points in components of the local character variety

Soit $d\geq 1$ un entier, et soit ${\mathfrak X}_d$ la variété des caractères $p$-adiques de dimension $d$ de ${\rm Gal}(\overline{\mathbb{Q}}_p/\mathbb{Q}_p)$. Un point de ${\mathfrak X}_d$ est dit cristallin absolument irréductible s'il correspond à une représentation cristalline absolument irréductible.

Conjecture sur les points cristallins. Toute composante irréductible de ${\mathfrak X}_d$ contient un point cristallin absolument irréductible.

Cette conjecture est présentée comme un analogue local de la conjecture de modularité de Serre. Le théorème précédent établit une densité et une propriété d'accumulation des points cristallins déployés dans toute composante contenant déjà un point cristallin déployé absolument irréductible; la conjecture affirme l'existence d'un tel point sur chaque composante, sans fournir ici de résolution générale.