The nonstandard weighted fundamental lemma for metaplectic groups

Soient $G_1$ et $G_2$ deux groupes réductifs munis des données qui définissent une correspondance entre leurs classes de conjugaison géométriques régulières et entre leurs sous-groupes de Lévi semi-standards correspondants. Soient $M_1\subset G_1$ et $M_2\subset G_2$ des sous-groupes de Lévi semi-standards qui se correspondent, et soit $c^{G_1,G_2}_{M_1,M_2}$ le coefficient défini par

$$c^{G_1,G_2}_{M_1,M_2}:=\frac{[R_2^{\Gamma_F}:j_*(R_1^{\Gamma_F})]}{[R^{M_2,\Gamma_F}:j_*(R^{M_1,\Gamma_F})]}.$$

Lemme fondamental pondéré non standard. Si $Y_1\in\mathfrak{m}_{1,G_1-\mathrm{reg}}(F)$ et $Y_2\in\mathfrak{m}_{2,G_2-\mathrm{reg}}(F)$ se correspondent, alors

$$s^{G_1}_{M_1}(Y_1)=c^{G_1,G_2}_{M_1,M_2}s^{G_2}_{M_2}(Y_2).$$

Ici, les fonctions stabilisées $s^{G_i}_{M_i}$ sont définies à l'aide des formes quadratiques invariantes sur $\mathfrak{a}_{M_1}$ et $\mathfrak{a}_{M_2}$ qui se correspondent via l'isomorphisme $\mathfrak{a}_{M_1}\simeq\mathfrak{a}_{M_2}$. Il s'agit de la généralisation non standard du lemme fondamental pondéré; le statut de cette formulation n'est pas précisé dans l'extrait fourni.