Bonatti's finiteness conjecture away from homoclinic tangencies

Soit $M$ une variété compacte, et soit $\mathcal{T}$ l'ensemble des difféomorphismes présentant une tangence homocline. Considérons le complémentaire $\operatorname{Diff}^1(M)\setminus\overline{\mathcal{T}}$. Une classe de récurrence par chaînes est une classe d'équivalence pour la relation de récurrence par chaînes. Conjecture de finitude de Bonatti. Il existe un ouvert dense de $\operatorname{Diff}^1(M)\setminus\overline{\mathcal{T}}$ formé de difféomorphismes dont le nombre de classes de récurrence par chaînes est fini. Cette conjecture est proposée après un théorème donnant une approximation par des systèmes hyperboliques, à cycle hétérodimensionnel ou possédant une infinité de classes; elle affirme que l'infinité est toujours liée aux tangences homoclines.