Palis's hyperbolicity conjecture with homoclinic and heterodimensional obstructions

Soit $M$ une variété compacte, et notons $\operatorname{Diff}^1(M)$ l'espace des difféomorphismes de classe $C^1$. Une tangence homocline est une intersection non transverse entre variétés stable et instable; un cycle hétérodimensionnel relie des orbites périodiques de dimensions stables différentes. Conjecture de Palis. Tout difféomorphisme peut être approché dans $\operatorname{Diff}^1(M)$ par un difféomorphisme hyperbolique ou par un difféomorphisme qui présente une tangence homocline ou un cycle hétérodimensionnel. Cette dichotomie cherche à caractériser l'ouvert des dynamiques hyperboliques par les bifurcations qui apparaissent dans son complémentaire; elle reste ouverte dans la généralité énoncée.