Smale's density conjecture for hyperbolic diffeomorphisms on surfaces

Soit $M$ une variété compacte de dimension $2$, et notons $\operatorname{Diff}^1(M)$ l'espace des difféomorphismes de classe $C^1$. Un difféomorphisme est hyperbolique s'il satisfait la définition usuelle de l'hyperbolicité dans la dynamique différentiable. Conjecture de Smale. Lorsque $\dim(M)=2$, l'ensemble des difféomorphismes hyperboliques est dense dans $\operatorname{Diff}^1(M)$. Le texte présente cette assertion comme un cas particulier de la conjecture d'hyperbolicité et précise que la question de l'existence d'ouverts $C^1$ de difféomorphismes non hyperboliques reste ouverte en dimension $2$.