Smale's density conjecture for hyperbolic surface diffeomorphisms

Soit $S$ une surface compacte, et notons $\operatorname{Diff}^1(S)$ l'espace des difféomorphismes de classe $C^1$ de $S$. Un difféomorphisme est hyperbolique s'il satisfait la définition usuelle de l'hyperbolicité dans la dynamique différentiable. Conjecture de Smale. Pour toute surface compacte $S$, l'ensemble des difféomorphismes hyperboliques est dense dans $\operatorname{Diff}^1(S)$. Les tangences homoclines et les cycles hétérodimensionnels sont des obstructions fréquentes à l'hyperbolicité; le cas des difféomorphismes $C^1$ des surfaces est présenté comme inconnu.