S-duality for zero-degree Vafa–Witten invariants

Let $\hat{\mathsf{VW}}^{\mathsf m,\mathsf a}_{{\mathsf d},0}$ denote the zero-degree Vafa–Witten invariants and set $\omega=e^{2\pi i/{\mathsf r}}$. S-duality without $\mu$-insertions. For ${\mathsf r}\geq2$,

$$\hat{\mathsf{VW}}^{\mathsf m,\mathsf a}_{{\mathsf d},0}={\mathsf r}^{-2g-1}\sum_{({\mathsf d'},{\mathsf m'},{\mathsf a'})}\omega^{({\mathsf d},{\mathsf m},{\mathsf a})\cdot({\mathsf d'},{\mathsf m'},{\mathsf a'})}\hat{\mathsf{VW}}^{{\mathsf m'},{\mathsf a'}}_{{\mathsf d'},0}.$$

This is the zero-degree Fourier-transform form of the proposed $S$-duality, stated for all ranks at least two.