The large-number Syracuse falling-time conjecture

Réfutation de la « large-number Syracuse falling-time conjecture »

Problème visé : MathDB #351411 — The large-number Syracuse falling-time conjecture

Énoncé de la conjecture (rappel) :

$$\operatorname{sft}(n) \leq 2$$

pour tout entier impair $n \geq 2^{5000}$, où $\operatorname{sft}(n)$ désigne le temps de chute de Syracuse : le plus petit nombre d'itérations du pas de Syracuse accéléré nécessaire pour atteindre une valeur strictement inférieure à $n$.

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Rappel de la construction (famille de Mersenne)

Soit $\operatorname{syr}(n) = \dfrac{3n+1}{2^{v_2(3n+1)}}$ le pas de Syracuse accéléré, et pour $k \geq 1$ :

$$n_k = 2^{k+1} - 1.$$

Proposition (établie dans la réfutation de #351408)

Pour tout $i = 0, 1, \dots, k$ :

$$\operatorname{syr}^{\,i}(n_k) = 3^i \cdot 2^{\,k+1-i} - 1.$$

Démonstration. Par récurrence sur $i$. Initialisation immédiate pour $i=0$. Si $M_i = 3^i\cdot2^{k+1-i}-1$ avec $i<k$, alors $k+1-i\geq2$ donne $M_i\equiv-1\equiv3\pmod4$, donc $v_2(3M_i+1)=1$ exactement, et

$$M_{i+1}=\frac{3M_i+1}{2}=3^{i+1}\cdot2^{k-i}-1,$$

ce qui referme la récurrence. $\blacksquare$

Corollaire (croissance stricte)

Pour $i=0,\dots,k-1$ :

$$M_{i+1}+1 = \frac{3}{2}(M_i+1) > M_i+1,$$

donc $M_0<M_1<\cdots<M_k$ est strictement croissante, et par conséquent :

$$\operatorname{sft}(n_k) > k.$$

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Application à la conjecture « large-number »

Prenons $k = 5000$.

Vérification de l'appartenance au domaine de la conjecture :

$$n_{5000} = 2^{5001} - 1 \geq 2^{5000},$$

donc $n_{5000}$ est bien dans le champ d'application requis ($n \geq 2^{5000}$).

Vérification numérique directe (arithmétique sur grands entiers, $n_{5000}$ possède 5001 bits) : les cinq premiers termes de la trajectoire ont été recalculés explicitement et coïncident exactement avec la formule fermée $M_i = 3^i\cdot2^{5001-i}-1$, chacun vérifiant $M_i \equiv 3 \pmod 4$ comme prévu.

Application du corollaire :

$$\operatorname{sft}(n_{5000}) > 5000.$$

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Conclusion

La conjecture affirme $\operatorname{sft}(n) \leq 2$ pour tout impair $n \geq 2^{5000}$. Or $n_{5000} = 2^{5001}-1 \geq 2^{5000}$ vérifie

$$\operatorname{sft}(n_{5000}) > 5000 \gg 2.$$

La conjecture est fausse, contredite explicitement par $n_{5000} = 2^{5001}-1$, qui nécessite strictement plus de 5000 itérations du pas de Syracuse avant de redescendre sous sa valeur de départ — très loin de la borne $2$ annoncée.

Plus généralement, pour tout seuil $S$ et toute borne $B$, il existe (en prenant $k$ assez grand pour que $2^{k+1}-1 \geq S$, avec $k > B$) un entier $n \geq S$ tel que $\operatorname{sft}(n) > B$ : aucune borne finie sur $\operatorname{sft}$, même restreinte aux « grands » nombres, ne peut être valide.

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Preuve élaborée et vérifiée par calcul le 13 septembre 2026, en réutilisant directement la construction établie pour la réfutation de la conjecture #351408 (« bounded Syracuse falling-time conjecture »).