The bounded Syracuse falling-time conjecture

Réfutation de la « bounded Syracuse falling-time conjecture »

Problème visé : MathDB #351408 — The bounded Syracuse falling-time conjecture

Énoncé de la conjecture (rappel) : Il existerait une constante $C \geq 10$ telle que

$$\operatorname{sft}(n) \leq C$$

pour tout $n \equiv 3 \pmod 4$, où $\operatorname{sft}(n)$ désigne le temps de chute de Syracuse : le plus petit nombre d'itérations du pas de Syracuse accéléré nécessaire pour atteindre une valeur strictement inférieure à $n$.

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Définitions

Soit $\operatorname{syr}(n) = \dfrac{3n+1}{2^{v_2(3n+1)}}$ le pas de Syracuse accéléré sur les entiers impairs, où $v_2(m)$ désigne la valuation 2-adique de $m$ (le nombre de facteurs 2 dans $m$).

Pour $k \geq 1$, on pose

$$n_k = 2^{k+1} - 1.$$

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Proposition

Pour tout $i = 0, 1, \dots, k$ :

$$\operatorname{syr}^{\,i}(n_k) = 3^i \cdot 2^{\,k+1-i} - 1.$$

Démonstration (récurrence sur $i$)

Initialisation ($i=0$) :

$$\operatorname{syr}^0(n_k) = n_k = 2^{k+1}-1 = 3^0 \cdot 2^{k+1-0} - 1.$$

Hérédité : Supposons la formule vraie au rang $i < k$, soit $M_i = 3^i \cdot 2^{k+1-i} - 1$.

Comme $i < k$, on a $k+1-i \geq 2$, donc $2^{k+1-i} \equiv 0 \pmod 4$, d'où

$$M_i \equiv -1 \equiv 3 \pmod 4.$$

Calculons $3M_i + 1$ :

$$3M_i + 1 = 3^{i+1} \cdot 2^{k+1-i} - 3 + 1 = 3^{i+1} \cdot 2^{k+1-i} - 2 = 2\left(3^{i+1} \cdot 2^{k-i} - 1\right).$$

Le facteur $3^{i+1} \cdot 2^{k-i} - 1$ est impair (c'est un multiple de $3$ moins $1$, et si $k-i \geq 1$ le terme $3^{i+1}\cdot 2^{k-i}$ est pair, donc la différence est impaire ; si $k-i=0$, $3^{i+1}\cdot 2^0=3^{i+1}$ est impair et $3^{i+1}-1$ est pair — mais ce cas correspond à $i=k$, hors de la plage d'hérédité $i<k$ où l'on a bien $k-i\geq 1$). Donc $v_2(3M_i+1) = 1$ exactement, et :

$$M_{i+1} = \operatorname{syr}(M_i) = \frac{3M_i+1}{2} = 3^{i+1} \cdot 2^{k-i} - 1,$$

ce qui est exactement la formule au rang $i+1$. $\blacksquare$

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Corollaire (croissance stricte)

Pour $i = 0, \dots, k-1$ :

$$M_{i+1} + 1 = 3^{i+1} \cdot 2^{k-i} = \frac{3}{2}\left(3^i \cdot 2^{k+1-i}\right) = \frac{3}{2}\,(M_i+1) \;>\; M_i + 1,$$

donc $M_{i+1} > M_i$.

Ainsi, la suite $M_0 < M_1 < \cdots < M_k$ est strictement croissante. En particulier, aucune des valeurs $M_1, M_2, \dots, M_k$ n'est inférieure à $M_0 = n_k$. Par définition du temps de chute :

$$\operatorname{sft}(n_k) > k.$$

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Conclusion

Pour tout $C \geq 1$, en posant $k = C$, le nombre

$$n_k = 2^{k+1} - 1 \equiv 3 \pmod 4$$

vérifie $\operatorname{sft}(n_k) > C$.

Aucune constante $C$ ne peut donc borner $\operatorname{sft}(n)$ uniformément sur la classe résiduelle $n \equiv 3 \pmod 4$.

La conjecture est fausse, réfutée par la famille explicite de Mersenne $n_k = 2^{k+1}-1$.

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Vérification numérique indépendante

La formule fermée ci-dessus a été vérifiée par calcul direct (recherche brute puis confirmation par la formule) pour $k$ allant jusqu'à $30$, avec accord exact à chaque pas intermédiaire. Quelques valeurs illustratives :

$k$	$n_k = 2^{k+1}-1$	$\operatorname{sft}(n_k) >$
1	3	1
6	127	6
12	8191	12
20	2 097 151	20
30	2 147 483 647	30

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Preuve élaborée et vérifiée par calcul le 13 septembre 2026, dans le cadre d'une exploration de la conjecture de Syracuse/Collatz.